预备知识

下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。同时，还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。

最大似然估计的原理

给定一个概率分布，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为，以及一个分布参数，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样，利用计算出其似然函数：

若是离散分布，即是在参数为时观测到这一采样的概率。若其是连续分布，则为联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得，我们就能求得一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于的最可能的值（即，在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，我们可以在的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的值即称为的最大似然估计。由定义，最大似然估计是样本的函数。

注意

这里的似然函数是指不变时，关于的一个函数。

最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

例子

离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为，抛出一个反面的概率记为（因此，这里的即相当于上边的）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为, , .这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

我们可以看到当时，似然函数取得最大值。这就是的最大似然估计。

离散分布，连续参数空间

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个， 都有一个抛出正面概率为的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

其中.我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对取微分，并使其为零。