基本内容

注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

历史

1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数和能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数，同余方程必有一组整数解满足（引理）。

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

证明

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。

，因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。

显然，奇质数p必有正倍数可以表示成四个整数的平方和（如4p^2)。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为。又从引理可知。

证明m0不会是偶数

设是偶数，且。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设的奇偶性相同，的奇偶性相同，均为偶数，可得出公式：

是正整数使得假设可以表示成四个整数的平方和不符。

证明m0=1

现在用反证法证明。设。

不可整除xj的最大公因子，否m0^2可整除m0p，则得m0是p的因子，但1 < m0 < p且p为质数，矛盾。 故存在不全为零、绝对值小m0/2（注意m0是奇数在此的重要性）整数的y1,y2,y3,y4使得 yyj= xj(mod m0)。