研究方法

趋势变化识别

对于一个已知分布的随机过程，图一. 显示了一系列样本函数的基本趋势，斜率为1.0，同时一个斜率为1.3的变化（突变）移动，从时间10的地方开始出现。为了识别出样本函数随机变量的趋势变化，将Cuscore统计量定义为

图一. 样本函数

Q=Σ[y(t)-βt]t；其中y(t)是一系列的观测值，β是斜率（也就是观察的时间序列值在每个时间单位的变化率），t为时间指数。Cuscore值形成的图形如图二所示。

图二. Cuscore统计量

这种统计识别方法揭露和展示了斜率上的变化所呈现出来的证据。当斜率从初始值1.0增加30%变为1.3，其变化的幅度应该很明显的。30%已经很接近1/3的程度，是一个很大的变化，应该引起我们的注意，但我们很难在图一中t=10的地方识别出变化趋势。

带噪声数据趋势识别

当观测值并没有落在指定的数学曲线上时，如图三加入了随机的噪声，并依然按照30%的变化率转变，Cuscore统计量比无噪声数据显现了更强的趋势增强信号。

图三. 随机噪声加入

量的分析

在图四中，ABC这条线是一个趋势变化的原型。第一个线段AB的斜率为0.5，而第二个线段BC的斜率为1.5。虚线BD是直线AB的延长线。虚线AE与直线BC平行，斜率也是1.5。当斜率发生变化，观测值就会偏离基础模型（也就是没有斜率变化）的期望值。顺着直线BC，y的值超过了直线BD的期望值，随着时间地不断增加。在图五中，我们根据Q值的累计偏差，就可以得到如曲线1所示的图形。

图四. 趋势变化图

现在我们假设事先不知道直线AB与BC的斜率，也不知道在B点的斜率发生了变化。假设我们最好的理解是，从A点开始应该出现一个1.0的斜率，如直线AC所示。在图五中，Cuscore统计量显示为曲线2的图形。Cuscore统计量的图形差异极大。根据这个假设的基础模型，得到的偏差序列，可以明显看出趋势的斜率发生了变化。1

图五. β=0与β=1的Cuscore统计量

实际运用

数据监控

对自相关数据的监控，可先对数据拟合一个合适的时间序列模型，然后运用此模型来消除自相关性，对残差进行统计过程控制监控。 但是这些控制图都忽略了故障表征的动态特性。因此，我们使用Cuscore统计量来进行预期信号的识别。

首先，构建如下模型