概述

实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为公理系统。1实数公理来源于实数理论的研究，实数理论包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。

实数集有多重结构，例如:

代数结构：从代数上看实数集是一个域。

序结构：实数集是一个有序集。

拓扑结构：实数集是一个拓扑空间,并且有诸如完备性,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。

实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限论的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。

实数系的公理系统

设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:

(I) 域公理

对任意a，b∈R，有R中唯一的元素a+b与唯一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：

1.（交换律） 对任意a，b∈R，有

a+b=b+a，a·b=b·a。

2.（结合律） 对任意a，b，c∈R，有

a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。

3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有

(a+b)·c=a·c+b·c。

4.（中性元） 对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为0，称为加法零元（或加法中性元）；对每个a∈R，存在R中唯一的元素，记为1，称为乘法单位元（或乘法中性元），使

a+0=a，a·1=a。