阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）是微分几何和拓扑学中的一个定理。此定理由英国数学家迈克尔·阿蒂亚与美国数学家艾沙道尔·辛格于1962年给出第一个证明。
该定理断言，对于紧的可定向的流形上的线性椭圆微分算子，其解析指标等于拓扑指标。几何和拓扑学中的许多大定理，包括黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）、希兹布鲁赫符号差定理（Hirzebruch's Signature Theorem）、高斯-博内-陈定理（Gauss-Bonnet-Chern Theorem）都是它的特殊情况，指标定理在理论物理学中亦有应用。12
基本信息
中文名
外文名
Atiyah-Singer Index Theorem
出现时间
提出者
解析指标
定理信息
椭圆算子
参见：椭圆型偏微分方程
设D是k维欧式空间上的n阶微分算子。如果p1, ..., pk是其上的坐标函数，那么定义其符号（symbol）是以（p1, ..., pk, q1, ..., qk）为自变量的函数，具体定义是去掉D的低阶项，并将最高阶项中的对pi求偏导的算子换成qi。因此D的符号是（q1, ..., qk）的n次齐次多项式。若对任意非零的序列（q1, ..., qk），此多项式的取值都非零，则称D是椭圆算子。例如，带个变量的拉普拉斯算子的符号为q1, ..., qk的平方和，所以这是一个椭圆算子。
以上所述是欧式空间上的算子。如果M是一个微分流形，其上的偏微商算子可以通过局部坐标系定义。此时它的符号是M的余切丛上的函数；对固定的M上的点，其符号是p的余切空间上的齐次函数。此定义与局部坐标的选取无关。
更进一步，对于M上向量丛E和F之间的偏微商算子D（一样以局部坐标定义），其符号是余切丛上的E和F的拉回丛之间的映射。若D的符号在每个非零余切向量上（x，w）的限制为Ex到Fx的可逆映射，则称D为椭圆算子。
椭圆算子的一个关键特性在于它们“几乎”可逆。对于紧流形上的椭圆算子D，存在伪微分算子P和Q使得与1-PD和1-DQ都是紧算子。由此可推知D的核与余核都是有限维的，即D是一个Fredholm算子。2
解析指标
参见：Fredholm算子
因为椭圆算子有伪逆，它便是一个Fredholm算子。对这类算子，可定义指标为Index(D)=dim Ker(D)−dim Coker(D)。这个指标叫做算子D的解析指标。
例二. 考虑流形，算子，其中，这是最简单的椭圆算子。若，则，反之则为零空间；其伴随算子满足类似的性质，不难算出的指数为零。由此例可见与在变化时可能有不连续点，但其差则是个常数。
拓扑指标
设是n维紧致无边微分流形，椭圆偏微分算子的拓扑指标定义为。换言之，是同调类的最高维项在的基本同调类上的取值。在此：是流形的 Todd 类，在此是托姆同构，指单位球丛及其边界。是陈特征，是的符号，而是 K 理论中定义的差元。
例子
高斯-博内-陈定理
希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理
设为紧复流形，为其上的复向量丛。定义
则解析指标等于
而拓扑指标等于
