简介

兰彻斯特定律式英国工程师F.W.兰彻斯特提出了描述作战双方兵力变化关系的微分方程组，该方程组被称为兰彻斯特定律。

兰彻斯特定律 描述敌对双方交战过程中兵力变化关系的微分方程组。该定律主要有三种形式，包括第一线性律、第二线性律与平方律。用以揭示在特定的初始兵力兵器条件下，敌对双方战斗结果变化的数量关系。主要用于作战指挥、军事训练、武器装备论证等方面的运筹分析。

兰彻斯特的战斗力定律是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率

平方律

设在近代战斗条件下,红、蓝两军交战，双方各自装备同类武器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。将双方在战斗中尚存的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系：

式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目， 简称为蓝方、 红方 的毁伤率系数。在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积。假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(0)=M,n(0)=N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程：

α[M- m(t)]=β[N- n(t)]

当交战双方的初始战斗单位数与毁伤率系数之间满足αM=βN时,m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不分胜负。当αM<βN时,蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在直接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”,并称之为“平方律”。按照这一定律，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效能为红方的4倍,则红方在数量上集中2倍于蓝方的兵力就可抵消蓝方武器在质量上的优势。兰彻斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红 方1000人交战，双方单个战斗单位的平均战斗力相同,红方被蓝方分割成各500人的两半。假定蓝方以1000人先攻击红方的500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半,接着蓝方以剩下的866人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。”

直接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵力随时间变化的关系：

??

式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。

线性律

假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮)对对方实施远距离间接瞄准射击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量无关。此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方部队在该防区内的数量成正比。这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。经简单推导可知交战过程中双方兵力符合下列状态方程：

α[M - m(t)]=β[N - n(t)]

式中M、N 的意义同平方律。交战双方不分胜负的条 件为αM=βN,如果αM<βN,则蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并称之为线性律。

冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地进行格斗，战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述：

??

式中m(t)、n(t)的含义同平方律。此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。这种关系可概括为“在兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积。”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。