物不知数

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到

因此按歌诀求出的结果就是23.

形式描述

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1, m2, ... , mn其中任两数互质，则对任意的整数：a1, a2, ... , an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

1. 1.

   设是整数m1, m2, ... , mn的乘积，并设，即是除了mi以外的n − 1个整数的乘积。

   设为模的数论倒数：

   方程组的通解形式为：在模的意义下，方程组只有一个解：

证明

从假设可知，对任何，由于，所以 这说明存在整数使得 这样的叫做模的数论倒数。考察乘积可知：