简介

松弛法是一种加速迭代方法，对于数值计算各种问题所采用的迭代法，均可起到加速收敛的作用。

此法产生于20世纪30年代，是基于变分思想的一种方法。其思想可描述如下： 假定把无重量的弹性弦拉成水平，然后在弦的一些点上加上负载，同时在每点上用与负载一样大的力向上拉，此时弦依然处于平衡状态，不产生弹性力，也没有位移。有规则地逐渐减小各点向上的拉力，位移与弹性力也随之产生，当各负载点向上的拉力减至零时，弦即处于松弛状态，最终得到各负载点的位移。拉力减小的过程，就是逐步逼近松弛状态的过程，松弛法由此得名。1

一般地，我们可以使用松弛法解线性方程组。但松弛法的应用不限于此，对于微分方程及其他问题数值求解也是有用的。1

此外还有超松弛法、群松弛法、逐次超松弛法等改进的松弛方法。1

定义

设线性代数方程组为。雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，在满足收敛的充分条件时，尽管迭代过程是收敛的，但还存在收敛速度的问题。如果迭代法的收敛速度很慢，则会使计算的工作量过大。这时就必须寻求加速的方法。下面介绍的线性加速收敛的方法称为松弛法。2

以高斯-赛德尔迭代法为例。首先，由高斯-赛德尔迭代格式求得第次迭代值，即

然后计算这个第次迭代值与第次迭代值之差，即。最后在第次迭代值的基础上，直接加上这个差的一个倍数作为实际的第次的迭代值，即

综合以上过程，可以得到如下的迭代格式：

式中，称为松弛因子。2

矩阵形式

设线性代数方程组为。记的对角线元素所成的对角矩阵为，，和分别为的下三角形和上三角形矩阵，则，故迭代格式也写为矩阵形式：

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收敛性

迭代格式的矩阵形式可写成