简介

绝对连续函数是一类极为重要的函数，设 f(x) 是 [a,b] 上的函数，若对任给 ε>0 ，存在 δ>0 ，使得对于在 [a,b] 上任意有限个互不相交的开区间 (a1,b1)，(a2,b2),...,(an,bn)，当

时，就有

则 f(x) 称为 [a,b] 上的一个绝对连续函数，令

则 f(x) 在[a,b] 上绝对连续的充分必要条件为：当△→ 0 时，

一致收敛与 0。

性质

绝对连续函数的名称有维塔利(Vitali,G.)提出，绝对连续函数的主要性质有：

1、若f(x) 与 g(x) 都是[a,b] 上的绝对连续函数，则

也是[a,b] 上的绝对连续函数.

2、若g(x) 是 [a,β] 上的绝对连续函数，a≤g(x)≤b，f(x) 在[a,b] 上满足利普希茨条件，则 f[g(x)] 是[a,β] 上的绝对连续函数（但任意两个绝对函数的复合函数未必绝对连续).

3、绝对连续函数一定是有界变差函数，但有界变差函数未必是绝对连续函数。

4、若f(x) 在 [a,b] 上绝对连续，且f‘(x)=0 a.e. 于 [a,b]，则f(x) 为一常数。

5、若f(x) 在 [a,b] 上绝对连续，且f‘(x)≥0 a.e. 于 [a,b]，则f(x) 为一单调增加函数。