简介

形式语义学的一个分支，用代数方法研究计算机语言的语义。它把计算机语言形式地定义为满足某种公理体系的抽象代数结构，然后利用这种代数结构的性质来证明用该语言编写的程序的正确性。

代数语义学始于对抽象数据类型的研究。数据类型是计算机语言中的重要组成部分。但在60年代中期以前一直缺少科学的定义。它被认为仅仅是一些数据的集合，这种观点不能反映数据类型的内在数学特性，因而不能用来检验程序的正确性。1967年问世的SIMULA67语言，第一次提出类程的概念，把数据和被允许施行于这些数据之上的运算结合起来，它是现代抽象数据类型的开始，但当时未引起足够重视。70年代初，软件危机促使人们去研究编写和验证正确的程序的理论和技术。在当时出现的一些新语言中，进一步把数据类型的特性与它的具体表示及实现方式分开来，提高了它的抽象程度。在这种思想指导下，用代数结构描述数据类型的语法，用公理体系描述数据类型的语义，就形成了完整的抽象数据类型，并出现了研究这种结构的代数语义学。

基调和Σ代数

用 表示由一组称为类子的元素构成的集合，用表示由一组运算符构成的集合，则中每一元素均可表示为： 1×2×…×k─→k+1

其中i∈(1≤≤+1)，箭头左边是运算的变元，右边是运算的结果。变元可以为空集，此时它是零元运算符。对偶Σ=(,)称为基调,它确定数据类型的基本语法结构。

给中的每个类子 i赋以一个元素集合捴,给中的每个元运算符i赋以一个函数i(1，2，…，k)，其中j∈捿,1≤≤,i(1，2,…，k)∈+1。令={捴},={i},则对偶ΣA,F={,}称为以Σ为基调的一个Σ代数。捴称为Σ代数的载体。

Σ代数是一种非齐性代数。非齐性代数是比克霍夫和李普森在1970年作为对以前的齐性代数的推广而提出的。在这种代数里，元素集被分成几个互不相交的子集。每个代数运算均以特定的子集为其定义域和值域。非齐性代数是代数语义学的主要工具。

例如，为了定义数据类型“整数堆”，需要三种类子：1=bag，2=int，3=bool和四个运算符 　empty：　 ─→bag

insert：　bag×integer ─→bag

remove：　 bag×integer ─→bag

element：　 bag×integer ─→bool

其中empty是零元运算符,又是载体S1中的元素。S1={empty，…},S2={…,-2,-1，0,1，2,…}，={True，False}。S1中的其他元素通过反复执行上述运算而得。

Σ代数的层次结构

Σ和Σ是两个具有相同基调的Σ代数。如果存在单值映射，把1映为2,1映为2，且对任意的 ɑ1，ɑ2,…，ɑn∈1及1∈1有(1(ɑ1，…,ɑn))=2((ɑ1),…,(ɑn)), 其中2∈2,(1)=2。则称为Σ到Σ的一个同态映射, 如果把它看成态射，则对应于同一基调的所有Σ代数构成一个范畴。

如果存在一个Σ代数,表为Σ1,它属于以某个Σ为基调的范畴，使得对中的每个Σ代数Σi都存在一个唯一的同态映射i:Σ1─→Σi,则称Σ1为中的初始代数。如果存在另一个Σ代数Σ2，使得对中每个Σj,都存在一个唯一的同态映射j:Σj─→Σ2,则称Σ2为 中的终结代数。初始代数和终结代数在同构意义下都是唯一的。

在上面所说的情况下，这两种代数都是存在的。若载体集 中的任何元素彼此都不等价，即可得初始代数，又称项代数。如果每个类子i只对应一个元素ɑi，即可得终结代数。

数据类型的语义

对中的每个类子i,取一组自由变量i与之对应,={i}。设i()表示在函数集对变量集 的作用下，所得到的全部属于类子i的表达式集合，()={i()}，则Σ代数Σ称为上的自由Σ代数。对任意的和任意的1,2∈i(),公式1=2称为一个公理。令 为由任意一组无矛盾的公理构成的集合，对偶{Σ，}称为一个抽象数据类型。