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  • 1.摘要
  • 2.定义
  • 3.基本定理
  • 4.例子
  • 5.定理的应用

刘维尔定理

微分代数

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征. 最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出, 经后人推广到一般的微分域上,并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上.

初等函数的原函数并不总是初等函数, 例如 image 的原函数是误差函数, 无法用初等函数表达出来. 其它常见的例子还有 image, image, image 等.

刘维尔定理指出, 一个初等函数如果有初等的原函数, 那么一定能写成同一个微分域的函数加上有限项该域上函数的对数的线性组合, 否则即表明不存在初等的原函数.

定义

参见微分域

一个域 image (元素是函数) 及相应的运算 image (对函数的导数) 构成的代数结构 image 称为 微分域 若对于 image 有

image

由上式可以得到通常导数的一些性质

image

image

设 image为某个微分域, 称

image

为该微分域的常数域.

设 image, K 是 F 的微分域扩张 image, image称为在 image 上基本初等, 若以下三种情况任一成立:

image是 image 的代数元素. 即存在 image 中的多项式 image, 使得 image. 注意此处多项式 image 的系数本身也是函数, 也即 image 隐式地决定了函数 image (选定某个解析分支). 称这种情况为代数扩张.

image是 image 上的超越元素, 且 image. 可以用对数函数来类比, 对于 image 有 image. 称这种情况为对数扩张. image 是 image 上的对数.

image是 image 上的超越元素, 且 image. 可以用指数函数来类比, 对于 image 有 image. 称这种情况为指数扩张. image 是 image 上的指数.

微分域的 初等扩张 是指接连进行如上的扩张得到的微分域 image, 其中 image 在 image 上基本初等.

一个函数 image 称为初等函数 若它在微分域 image (有理函数加普通导数) 的某个初等扩张中.

基本定理

(刘维尔第一定理(Theorem of Liouville-first statement))

设 image 为微分域, image 为 image 的初等扩张, 且 image. 对于 image, 若存在 image, 使得 image, 则