简介

平方根法又叫 Cholesky分解法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。

我们知道，对于一般方阵，为了消除 LU分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。

定理及证明

设A为一n阶 对称正定矩阵，即A满足A^T=A且对任意的非零实系数向量z，都有z^TAz>0，则我们可以得出如下定理：

Cholesky分解定理：若矩阵A对称正定，则存在一对角元为正数的下三角阵L，使得

A=LL^T

上式中的L又称为Cholesky因子。

证明：由于A对称正定表明A的全部顺序主子阵均正定，因此可知，存在一个单位下三角阵L'和一个上三角矩阵U，使A=L'U。令：

D=diag（u11,...,u1n）,U'=D^(-1)U，

则有

U'^TDL'^T=A^T=A=L'DU'，

从而

L'^TU'^(-1)=D^(-1)U'^(-T)L'D.

上式左边是一个单位上三角矩阵，而右边是一个下三角矩阵，故两边均为单位矩阵。于是，U'=L'^T，从而A=L'DL'^T。由此可知，D的对角元均为正数。令

L=L'diag( ,..., ),

则A=LL^T，且L的对角元lii= >0，i=1,...,n 证毕

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应用