正项级数
正项级数，是一种数学用语。在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。
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基本信息
- 中文名
正项级数
- 外文名
Positive series
- 定义
各项都是由正数组成的级数
- 重要级数
p级数
- 收敛性判别
比较原则、比式判别、根式判别
- 应用学科
数学分析
定义
若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。1
换句话说，若
，则称级数
为正项级数。2
收敛性判别
部分和数列判别法
正项级数的部分和数列是单调增加的数列即：
，收敛的充要条件是有界，因此有：
正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列有界，即存在某正数
，对于一切正整数
有
。1
比较原则
设和
是两个正项级数，如果存在某正数
，使得对一切
都有
，则有：
（1）若级数收敛，则级数也收敛；
（2）若级数发散，则级数也发散。1
比式判别法（达朗贝尔判别法）
设为正项级数，且存在某正常数
及常数
。
（1）若对一切
，成立不等式
，则级数收敛；
（2）若对一切，成立不等式
，则级数发散。
比式判别法的极限形式：
设为正项级数，且
，则有：
（1）当
时，级数收敛；
（2）当
或
时，级数发散。