公理简介

基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第四组公理。它包含2条连续公理：

Ⅳ1.(阿基米德公理) 设AB和CD是任意两条线段，则在直线AB上存在着有限多个点A1，A2，…，An，使得A1在A和A2之间，A2在A1和A3之间等，并且线段AA1，A1A2，…，An-1An都合同于线段CD，而B在A和An之间，如图1所示。

图1

Ⅳ2.(康托尔公理) 设在任意直线a上给了线段的无穷序列A1B1，A2B2，…，其中每个后面的都在前面一个的内部；又设不存在这样的线段，它能在所有这些线段的内部。那么在直线a上，有且仅有一个点x，它落在所有这些线段A1B1，A2B2，…的内部。如图2所示。

图2

应当指出，在德国数学家希尔伯特(Hilbert，D.)的经典叙述中，连续公理是由上述阿基米德公理和另一条称为完备公理的两条公理组成的，而没有上述康托尔公理。这里已对希尔伯特的经典叙述做了改动，亦即把完备公理改成为上述康托尔公理。当然，可以严格证明经过改动后的公理系统与原来的公理系统是等价的.所以从本质上说，并没有作什么改动。

为便于叙述完备公理，现将经过改动后的希尔伯特-欧几里得几何公理系统记为EH，而将在EH中去掉上述康托尔公理后所构成的几何公理系统记为EH.那么可将希尔伯特经典叙述中的完备公理陈述如下：

对于由被称为点、直线、平面等几何元素组成的系统Σ而言，在保有EH的所有公理的情况下，不再允许Σ有任何新的扩充。即不可能再在Σ中引入新的点、直线、平面等几何元素而构成一个扩张了的系统Σ′，并且在Σ′上保持EH的所有公理。

基本几何公理

一种重要的几何公理系统。指德国数学家希尔伯特(D.Hilbert)提出的欧几里得几何的公理系统。它包括三个基本元素、三个基本关系和五组(共20条)公理，其基本结构如下表所示：

图3

结合公理

亦称关联公理或从属公理。规定基本对象点、直线、平面之间从属关系的一组公理。基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第一组公理。它包含8条结合公理：

Ⅰ1.对于任意两个不同的点A和B，至少有一直线a连结A和B。

Ⅰ2.对于任意两个不同的点A和B，至多有一直线a连结A和B。

Ⅰ3.任一直线上至少存在着两个点，又至少存在着不在同一条直线上的三个点。

Ⅰ4.任给不在同一条直线上的三个点A，B，C，至少存在一个平面通过A，B，C。又任一平面上至少有一个点。

Ⅰ5.任给不在同一条直线上的三个点A，B，C，至多存在一个平面通过A，B，C。