简介

形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子：

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数：，即使说它对应的幂级数：

在取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：

那么与的和就是：

其中里面的系数就是与中的系数的和；里面的系数就是与中的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：

对每个确定的阶数，这个计算是有限项（至多项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数的逆是指另一个形式幂级数，使得. 如果这样的形式幂级数存在，就是唯一的，将其记为。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当的逆存在时， 比如说，可以很容易验证：

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的的系数。这个操作常常记作，比如说对形式幂级数，就有：

对以上定义的形式幂级数，也有：。又比如：，。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。