简介

数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述

柯西-施瓦茨不等式叙述，对于一个内积空间所有向量x和y，

其中表示内积，也叫点积。等价地，将两边开方，引用向量的范数，不等式可写为

另外，等式成立当且仅当x和y线性相关（或者在几何上，它们是平行的，或其中一个向量的模为0）。

若和有虚部，内积即为标准内积，用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数，甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

特例

对欧几里得空间Rn，有

等式成立时：

也可以表示成