概述

Lanczos算法是一种将对称矩阵通过正交相似变换变成对称 三对角矩阵的算法，以20世纪匈牙利数学家Cornelius Lanczos命名。Lanczos算法实际上是Arnoldi算法对于对称矩阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。

算法

Lanczos算法

给定对称矩阵A;

选取单位向量v_1;

设定v_0为零向量;

设定b_0=0;

for i=1:m

a_i=(Av_i,v_i);

b_i=||Av_i-a_iv_i-b_{i-1}v_{i-1}||;

b_i v_{i+1} = Av_i - a_i v_i - b_{i-1}v_{i-1};

end

由上述Lanczos算法得：V'AV=T,

其中V=[v_1,...,v_m], T=tridiag(b,a,b), a=[a_1,...,a_m], b=[b_1,...,b_m].

该算法的一个matlab实现程序

A代表任意一个需要三对角化的矩阵，b是任意一个向量，且b的行数与A的列数相同因为要用到v = A*q;

nmax是你想要得到的矩阵的大小，例如nmax=12，最后得到12*12的 三对角矩阵。

结果输出的是一个三对角矩阵