简介

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

其中的是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数和以及两个常数和，那么：

如果f是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：以及同样多的常数系数：，线性组合仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

设是方程(*)的一个解函数。方程(**)的任意一个解函数。则它们的和仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：和。则它们的差会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且。

常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有的形式，其中是某个复数。因此，对于以下方程：

我们设，可得：

两边除以e zx，便得到了一个n次方程：

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。