有限维的情况

埃尔米特矩阵

从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者复内积空间上的埃尔米特矩阵开始；埃尔米特条件意味着

对于所有的元素成立。

一个等价的条件是，其中是的共轭转置。若为实矩阵，这等价于（也即，是对称矩阵）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子A的特征向量是（非零）向量使得对于某个标量成立。值是相应的特征值。

定理：存在的标准正交基，由的特征向量组成。每个特征值都是实数。

证明

这里给出复数情况的证明概要。

根据代数基本定理，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若为埃尔米特矩阵，有特征向量，考虑子空间，也即的正交补空间。根据埃尔米特性，为的不变子空间。在上采用同样的论证表明有特征向量。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 n 维欧几里得空间上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取的特征向量为标准正交基，在这个基上的表示是对角的。等价地，可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的谱分解。令

为对应于特征值的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。是空间的直积，其中下标取遍特征值。令为到上的正交投影，而为的特征值，谱分解可以写作：

谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。

正规矩阵

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令为有限维内积空间上的算子。称为正规算子若。可以证明正规当且仅当它可以酉对角化：根据舒尔分解，，其中是酉矩阵而是上三角阵。因为正规，，所以必定是对角的。反过来也是显然的。