裴蜀定理: 一般指本词条
贝祖定理
贝祖定理是代数几何中，用来描述两个代数曲线的交点个数的定理，定理说明两条互质的曲线X 和Y的交点个数等于它们次数的乘积。
内容是若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)。
基本信息
- 中文名
贝祖定理
- 外文名
Bezouts identity
- 别称
裴蜀定理
- 提出者
贝祖(Bezout)
- 应用学科
初等数论
- 适用领域范围
数学
定理定义
1/2
定义整数a,b的一个线性组合是指形如
的整数，其中x,y是整数。那么贝祖定理是说对整数a,b（如果我们定义
时，
），
是a,b的一个线性组合（其中
是a,b的最大公因数，简记为
）。
验证推导
若
，则
.结论显然.
不妨设
.考虑由
所有的线性组合组成的集合
分别取
和
：
.由于正实数集对所有实数有三分法成立，故
中必定有一个为正（已令
）.设
，则
.
由最小数原理知，
中有最小正整数，不妨设为
.
因为
，所以
是
的一个线性组合：
,
由带余除法可知：
使得
其中
.假设
，则：
这与
是
的最小元矛盾.故
，即
是
的因子.类似地，可证
是
的因子.故
是
和
的公因子.
若
是
和
的任意一个公因子，则设
.因为
，所以
整除
，所以
.故
.
应用例子
- 1.
若a |bc，且（a，b）=1，则a |c证明：∵(a，b)=1，由贝祖定理，存在x，y∈Z，使得 ax+by=1∴ (ax+by)c = c∴acx+bcy = c∵ a | ac，a | bc∴ a | acx+bcy∴a | c命题得证
2.若a |c，b |c，且（a，b）=1，则ab |c
3.设m为正整数，则（ma，mb）=m（a，b），[ma，mb]=m[a，b]
4.设a，b都为正整数，则（a，b）·[a，b]=ab1