预备知识

扰动

设方程组为Ax=b，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：和，则实际求解的方程组为。1

条件数

求解线性方程组Ax=b时，设A是n阶非奇异矩阵，‖·‖为矩阵的任一种从属范数，则,称为矩阵A的条件数，其中是A的逆矩阵。1

定义

病态方程组是指因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组。病态的另外一个解释是很大范围的解都能近似满足方程组。因为舍入误差会使系数有一些小的改变，那么对于病态方程组，这些人为的改变会导致解有很大的误差。2

表述一

设方程组为Ax=b，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：和，如果和很小，而很大，则称方程组Ax=b为病态（ill-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的病态矩阵；反之，如果和微小时，也很微小，则称方程组Ax=b为良态（well-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性（如用LU分解法求解线性方程组时，更换主元有可能使解的精确度大大下降）。1

表述二

求解线性方程组Ax=b时，设A是n阶非奇异矩阵，当条件数Cond（A）比较大时，A和b的小扰动会引起解的较大误差，所以条件数Cond（A）刻画了方程组Ax=b的性态。如果条件数比较大，就说方程组是“病态”的；如果条件数比较小，就说方程组是“良态”的；当然，病态和良态是相对的。1

典例

设有方程组：

易得其精确解为。

若常数项有一个扰动，得到方程组：

则其解为。

可见A或b中元素的0.0001的微小变化会导致方程组解的巨大差异，这样的方程组就是“病态”方程组，可以利用范数来描述向量和矩阵的扰动误差。3