简介

设R是一个诺特环，如果对 R 的任意素理想p ，整环 R/p 具有性质：对 R/p 的商域的任意有限扩域 K ，R/p 在 K 中的整闭包都是有限生成的 R/p 模，则称 R是永田环。当 R 是永田环时，R 的局部化环和有限 R 代数也是永田环。

完备的诺特局部环是永田环。

整环

在交换代数中，可以根据整闭包的有限性将整环分成数类。以下均假设A为一整环。

A被称作N-1 环，当且仅当其在分式域K中的整闭包是有限A-模。A被称作N-2 环（或日本环，以纪念日本学派在此领域之贡献），当且仅当对任何有限扩张L/K，A在L中的整闭包是有限A-模。A被称作泛日本环，当且仅当A上任何有限生成的整环都是日本环。 一个泛日本环A被称作永田环（或拟几何环），当且仅当A也是诺特环时。 注：一个代数簇的局部环或其完备化称作几何环，但此概念并不流行。

诺特环

在数学中，更具体地在抽象代数领域被称为环形理论。诺特环(Noetherian ring)是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特(Hilbert)首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后德国数学家埃米·诺特(Emmy Noether)从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。