单调算子
基本信息
- 中文名
单调算子
- 外文名
monotonic operator
- 起源
可微凸泛函的导数
- 类型
导数
- 学科
数学
- 属于
非线性算子
单调算子的概念
单调算子的理论是非线性泛函分析中的一个重要分支，它在非线性偏微分方程、非线性积分方程及Banach空间微分方程等方面都有较广泛的应用。
设X是实Banach空间，X'是X的共轭空间。
定义1.1，设
，算子T：D→X'，如果满足条件：
则称T是单调算子（映射），若当
时，必有x=y，则称T是严格单调的。
从这个定义可以看出，若T是线性算子，则T为单调的充要条件是
。
设
，称G为单调集，如果
因此，T：D→X'为单调算子的充要条件为它的图像
是X×X'内的单调集。
单调算子的基本性质
命题1.1，设H是Hilbert空间，则T：H→2H为单调的充要条件是
定义1.2，设，算子T：D→X'。
（1）设x0∈D，如果xn∈D，
，则称T在x0处是次连续的（demi-continuous）。若T在D内每一点都次连续，则称T在D上次连续。
（2）设x0∈D，若h∈X，tn>0，x0+tnh∈D，
，则称T在x0是半连续的（hemi-continuous）。若T在D内每一点都半连续，则称T在D上半连续。
（3）设x0∈D，T称为在x0处是局部有界的，如果存在x0的领域U，使得集合
在X'内是有界的。