正定二次型
线性代数术语
若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。
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基本信息
- 中文名
正定二次型
- 外文名
positive definite quadratic form
- 领域
数学1
基础定义
设
，其中矩阵
是对称阵，即
，
为列向量，若
，
，有
，则称
为正定二次型，称实对称矩阵正定。2
例如，
即为正定二次型，其中
，
。
性质
（1）
阶实对称矩阵正定
的正惯性指数等于
与单位矩阵合同
的顺序主子式大于零
的特征值大于零
的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）
（2）若
阶实对称矩阵和
正定，
为实数，则
①
（逆）、
（伴随矩阵）、
均正定；
②
正定
；
③
正定
判定方法
判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种
行列式法
对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。