Hilbert空间就是定义了内积的空间，其元素没有任何限制，只要在元素间定义了内积就行

标准的定义：如果内急空间中所有的Cauchy列都收敛，则称此空间是完备的，完备的内积空间成为Hilbert空间！

有限维Hilbert空间的特例：通常的几何空间，多项式空间等等

向量空间指的是线性空间，也就是空间中的元素是满足线性关系的，线性空间的特点就是里面有一组基，可以用来表示整个空间。

可以证明，只要是定义了内积，那么元素间就满足了某种线性关系，因此Hilbert空间也可以定义为在线性空间中定义了内积的空间。因此Hilbert空间是一种特殊的线性空间

Hilbert

希尔伯特（David Hilbert，公元1862─公元1943）是德国著名的数学家，他出生於东普鲁士哥尼斯堡，自1895年起任哥廷根大学（Universität Göttingen）的终生职教授，1928年成为皇家学会会员。