简介

1899年，希尔伯特（D.Hilbert）在他的《几何基础》一书中，成功地建立了欧几里几何的完整的公理体系，它由五组公理组成，即关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理和欧几里得平行公理。如果去掉欧几里得平行公理，则以前四组公理为基础建立起来的几何称为绝对几何。如果用罗巴切夫斯基平行公理取代欧几里得平行公理，而前四组公理不变，则以此为基础建立起来的几何便是罗巴切夫斯基几何。因此，绝对几何是欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何的公共部分。1

结合公理

[axiom of incidence]

结合公理亦称关联公理(incidence axioms)或从属公理(subordinate axiom)。希尔伯特公理系统中规定基本对象“点”，“直线”，“平面”之间结合关系的一组公理。结合关系叙述为“......在......上面”或者“......通过......”，它包括以下八条：

（1）对于任意的两个点A，B，存在通过这两点多直线；

（2）对于任意两个不同的点A，B，至少存在一条通过它们的直线；

（3）在每一条直线上至少有两个点：至少存在三个点，不在同一条直线上；

（4）对于不在同一条直线上的三点A、B、C，存在通过每个点点平面，在每个平面上至少有一个点；

（5）对于任意三个不在同一直线上的点A，B，C，至多有一个通过每个点点平面；

（6）如果直线的两个点A，B 落在平面上，那么直线的任何一个点都在平面上；

（7）如果两个平面有一个公共点，那么它们至少还有第二个公共点；

（8）至少存在四个点，不在同一个平面上。

上面的（1）～（3）可以称为平面结合公理，（7）表明空间的维数不大于 3，（8）表明空间的维数不小于 3。

顺序公理

[axiom of order]

顺序公理亦称次序公理 [axiom of order]，希尔伯特公理系统中建立点的顺序关系的一组公理。顺序关系叙述为“......在......之间”，它包括以下四条：

（1）若点 B 介于 A 与 C 之间，则A，B，C 是一条直线上的不同三点，且点 B 也介于 C 与点 A 之间；

（2）对于任意两点A，C，直线 AC 上至少存在一点 B，使点 C 在点A，B之间；