表述

这一命题的逆命题“等腰三角形两底角的平分线长相等”早在二千多年前 欧几里得的《 几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述原命题在《 几何原本》中却是只字未提，一直直到1840年，雷姆斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。但斯图姆未能解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是 瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796—1863），因而这一定理就称为斯坦纳 -雷姆斯定理。

证明方法

如图，已知△ 中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。

证法①：（斯坦纳原证) 如图1，假设AB>AC．

则∠BEC>∠BDC (1)

在△BCE与△CBD中，∵BD=CE，

BC公共，∠BCE>∠CBD，

∴BE>CD．

作平行四边形BDCF，连接EF．

∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．

∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．

∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)

(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．

同理AC≯AB．故 AB=AC．

证法②：(海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874）)

作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC

∵BD=EC，

∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，