定义

代数

定义1 设是一个线性空间，称是一个代数，若：对中任意两个元素，规定乘积，满足对和任意数a，有

（1）结合律 x(yz)=(xy)z；

（2）分配律 x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

（3）a(xy)=(ax)y=x(ay).

注：1）设是一个代数，如果存在，使得

就称是代数的一个单位元。

2）设是一个代数，如果，且按的线性运算及乘法仍是一个代数，则称是的一个子代数。

3）设是一个代数，当有单位元时，单位元必是唯一的。

4）设是一个有单位元的代数，且存在使得

其中e为的单位元，则称b为a的逆。1

赋范代数

定义2 设是一个赋范线性空间，同时又是一个代数，而且

则称是一个赋范代数。1

注：在赋范代数中，关于乘积范数的性质保证了乘法运算的连续性。实际上，当时，