基本内容

大数定律又称大数法则、大数率。 在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

大数定理简介

我们知道，单凭理性计算，有限次重复博弈，是解决个体理性与集体 理性之间矛盾的。无限重复又如何呢？且听我细细道来。

在无限重复中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的 相争，便成了机器与机器的角斗。假设甲和乙玩无限重复的囚犯博弈。甲 相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是 以它为策略。乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为 策略。这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。根 据上一贴中列出的框图，我们可以推演出各个回合双方的行为如下： 第一回合，甲仁厚玩合作Ｈ，乙宰客玩欺骗Ｄ； 第二回合，甲报复玩欺骗Ｄ，乙仍然宰客玩欺骗Ｄ； 第三回合，甲仍报复玩欺骗Ｄ，乙发现甲并非傻客，于是玩合作Ｈ； 第四回合，甲原谅乙，玩合作Ｈ；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗Ｄ宰客； …… 如此等等。采用我们上贴里的报偿表，整个结果序列如下图所示：

循　环　循　环　循　环

┌───┐　┌───┐　┌───┐

↓　↓　↓　↓　↓　↓

行为：甲　Ｈ　Ｄ　Ｄ　Ｈ　Ｄ　Ｄ　Ｈ　Ｄ　Ｄ

乙　Ｄ　Ｄ　Ｈ　Ｄ　Ｄ　Ｈ　Ｄ　Ｄ　Ｈ

报偿：甲　０　２　６　０　２　６　０　２　６

乙　６　２　０　６　２　０　６　２　０

…… 请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重 复。于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少　只要 取相继三个回合，作个简单平均就够了。甲得到（０＋２＋６）／ ３ ＝ ２．６７，乙得到（６＋２＋０）／ ３＝２．６７。显然，两者平分秋色，不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。

这种循环重复并不是特例。可以证明，有限自动机玩无限重复博弈， 其结果最终都会变成循环重复序列。于是，利用类似的办法，我们可以针 对上贴中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。这 些报偿可以写成一个７×７博弈矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数， 这不影响下面的讨论）：

乙

傻客　恶棍　冷血　恕道　侠义　流氓　摇摆 ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－· 傻客 ｜４，４｜０，６｜４，４｜４，４｜４，４｜０，６｜０，６｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恶棍｜６，０｜②，②｜２，２｜２，２｜２，２｜３，１｜２，２｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 冷血｜４，４｜２，２｜④，④｜④，④｜２，２｜３，１｜２，２｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恕道｜４，４｜２，２｜④，④｜④，④｜３，３｜２，２｜２，２｜ 甲　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 侠义｜４，４｜２，２｜２，２｜３，３｜２，２｜２，２｜２，２｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 流氓｜６，０｜１，３｜１，３｜２，２｜２，２｜④，④｜２，４｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 摇摆｜６，０｜２，２｜２，２｜２，２｜２，２｜４，２｜③，③｜ ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－·

上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。比如，乙玩恶棍策 略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。 因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博弈的平衡点之 一，此时各方的报偿与一次性博弈相同，都是２。

观察一下上面这个表，我们会发现它有多个平衡点。非重复博弈中的 均衡点，恶棍对恶棍，双方永远玩欺骗，仍然是无限重复博弈的均衡点。 无条件合作的傻客策略，仍然不是重复博弈的均衡点理性的人，决不会当傻客。更重要的是，重复博弈引进了许多新的平衡点，其中有不少平衡点， 可以实现合作报偿(4,4)。 这包括恕道策略对恕道策略，恕道策略对冷血 策略，冷血策略对冷血策略，流氓策略对流氓策略等，都可以维持双方的 合作。以流氓对流氓为例：第一回合，双方耍流氓互宰，发现对方不是好 惹的之后，双方转入合作心态，此后一直维持合作，这样无限次重复，其 平均报偿都是４。

事实上，存在这无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的 平衡点，并同时实现双方的合作。这就是有名的“大众定理(Folk Theorem)”， 又译作“无名氏定理”。它之得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早 就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”名之。