完全数

完全数（Perfect number，又称完美数或完备数）是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过的表达式发现前四个完全数的。

当

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：，其中是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的和对应着和的情况。我们只要找到了一个形如的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是或的形式，其中是素数。

首十个完全数是（ A000396）：

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为2，3，5，7恰好是头4个素数，第五个完全数应该是第五个素数即当n＝11的时候，可是并不是素数。因此n＝11不是完全数。另外两个错误假设是：

头四个完全数分别是1，2，3，4位数，第五个应该是5位数。

完全数应该是交替以6或者8结尾。

而事实上，第五个完全数，是8位数。对于第二个假设，第五个完全数确实是以6结尾，但是第六个完全数8 589 869 056仍是以6结尾，应该说完全数只有以6和8结尾才对。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到2018年1月为止，共发现了50个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为277232916 × (277232917 − 1)，共有46,498,850位数。