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  • 1.摘要
  • 2.基本信息
  • 3.基础定义
  • 4.应用举例
  • 5.演绎过程
  • 6.参考资料

拉格朗日乘数法

高等数学定理

拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的   多元函数的   极值的方法。

这种方法将一个有n 个变量与k 个   约束条件的   最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，   全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

基本信息

  • 中文名

    拉格朗日乘数法

  • 外文名

    Lagrange Multiplier Method

  • 表达式

    L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)

  • 提出者

    Joseph Lagrange

  • 提出时间

    1791年

  • 应用学科

    高等数学1、微观经济学

  • 适用领域范围

    多元函数极值

基础定义

定义介绍

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的 极值点，先做 拉格朗日函数

拉格朗日乘数法

，其中λ为参数。

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶 偏导数等于零，，即

F' x=ƒ' x(x,y)+λφ' x(x,y)=0，

F' y=ƒ' y(x,y)+λφ' y(x,y)=0，

F' λ=φ(x,y)=0

由上述 方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能 极值点。

若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。

证明

以三元函数为例，即求目标函数：u=f(x,y,z) 在限制条件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的极值。

假定f,G,H,具有连续的偏导数,且Jacobi矩阵:

J=(

Gx Gy Gz ) 注释：这里表示的是2x3的 矩阵,Hx Gx分别表示H,G对x求偏导.