孪生素数
孪生素数（也称为孪生质数、双生质数）是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。
关于孪生素数有孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。
与之相关的，两者相差为1的素数对只有 (2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。
简介
素数在自然数中的分布是不规则的。欧几里得在他的著作《几何原本》中首次证明了素数有无穷多个。十九世纪后，素数定理的证明给出了素数在自然数中大致的分布情况。根据素数定理，在前N 个自然数里，素数的个数大约是
。也就是说前N 个自然数里，素数的比例是
。因此，随着N 增大，前N 个自然数里，素数的比例会越来越小。事实上，给定一个自然数
，那么连续的n 个自然数：
都是合数。
是否越大的素数，两两之间就隔得越远呢？实际上不然。在某些时候，两个连续的素数之间只相差2。这样的素数对就是孪生素数。
以下列出了最小的35对孪生素数（ A001359及 A006512)：(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
即使是大的素数，也有可能成为孪生素数。通过穷举式的计算发现：在小于
的29,844,570,422,669个素数中，有1,177,209,242,304对孪生素数，占了3.94%。而且这些孪生素数并没有表现出停止在某一个上限的趋势。
截至2016年9月为止，已知最大的孪生素数为 2996863034895 · 21290000 ± 1,，此数有388342位。
素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。直觉上可以作如下的估计：在前N 个自然数里找一个数，它是素数的可能性大约是
；所以在前N 个自然数里找一个数p，p 和p+2 都是素数的可能性大约是
。当然，这种推算只能是直觉上的猜测，而不是严谨的证明，因为素数的排列是已知的，而不是概率上的事件。
哈代-李特尔伍德猜测
1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德也做出了类似的猜测。他们提出以下的猜想：设
为前N 个自然数里孪生素数的个数。那么
其中的常数
是所谓的孪生素数常数：
其中的p 表示素数。
孪生素数猜想
哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。很多时候，对于无法证明的命题，数学家会尝试证明比它更强或更为广泛的命题，从而解决原来的命题。例如数学家安德鲁·怀尔斯就是证明了比费马最后猜想更广泛的命题，从而完成了费马最后猜想的证明。
2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差（上界）都小于7000万。论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）接受。截至2014年10月9日 (2014-10-09), 素数对之差被缩小为 ≤ 246。