内容简介

《工程数学:数学物理方程与特殊函数》是高等学校教材之一。

图书目录

第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1.1 基本方程的建立 1.2 初始条件与边界条件 1.3 定解问题的提法 习题 第二章 分离变量法 2.1 有界弦的自由振动 2.2 有限长杆上的热传导 2.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题 2.4 非齐次方程的解法 2.5 非齐次边界条件的处理 2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 习题二 第三章 行波法与积分变换法 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 3.2 三维波动方程的泊松公式 3.2.1 三维波动方程的球对称解 3.2.2 三维波动方程的泊松公式 3.2.3 泊松公式的物理意义 3.3 积分变换法举例 习题三 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 4.4.1 半空间的格林函数 4.4.2 球域的格林函数 习题四 第五章 贝塞尔函数 5.1 贝塞尔方程的引出 5.2 贝塞尔方程的求解 5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解 5.4 贝塞尔函数的递推公式 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 5.5.1 贝塞尔函数的零点 5.5.2 贝塞尔函数的正交性 5.6 贝塞尔函数应用举例 5.7 贝塞尔函数的其他类型 5.7.1 第三类贝塞尔函数 5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数 5.7.3 开尔文函数（或称汤姆孙函数） 5.8 贝塞尔函数的渐近公式 习题五 第六章 勒让德多项式 6.1 勒让德方程的引出 6.2 勒让德方程的求解 6.3 勒让德多项式 6.4 函数展成勒让德多项式的级数 6.4.1 勒让德多项式的正交性 6.4.2 函数展成勒让德多项式的级数 6.5 连带的勒让德多项式 习题六 第七章 能量积分法 7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式 7.2 初值问题解的惟一性与稳定性 7.3 初边值问题的能量不等式 习题七 第八章 变分方法 8.1 变分方法的物理背景 8.2 变分问题的可解性 8.3 吕兹一伽辽金方法 习题八 第九章 非线性偏微分方程 9.1 极小曲面问题 9.2 非线性偏微分方程举例 9.3 单个守恒律激波 9.4 KdV方程孤立子 习题九 附录A τ函数的基本知识 附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表 习题答案

文摘

版权页： 插图： 前面两节我们推导了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式。由于这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这种方程称为二阶线性偏微分方程。在工程技术上二阶线性偏微分方程遇到最多。 如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）。由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出偏微分方程的适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件，把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为始值问题（或柯西（Cauchy）问题）；反之，没有初始条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题。既有初始条件也有边界条件的定解问题称为混合问题。 一个定解问题提得是否符合实际情况，当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验： 1）解的存在性，即看所归结出来的定解问题是否有解； 2）解的惟一性，即看是否只有一个解； 3）解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，如果确实如此，此解便称为稳定的，否则所得的解就无实用价值，因为定解条件通常总是利用实验方法获得的，因而所得到的结果，总有一定的误差，如果因此而解的变动很大，那么这种解显然不能符合客观实际的要求。

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《工程数学:数学物理方程与特殊函数》是高等学校教材之一。

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第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1.1 基本方程的建立 1.2 初始条件与边界条件 1.3 定解问题的提法 习题 第二章 分离变量法 2.1 有界弦的自由振动 2.2 有限长杆上的热传导 2.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题 2.4 非齐次方程的解法 2.5 非齐次边界条件的处理 2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 习题二 第三章 行波法与积分变换法 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 3.2 三维波动方程的泊松公式 3.2.1 三维波动方程的球对称解 3.2.2 三维波动方程的泊松公式 3.2.3 泊松公式的物理意义 3.3 积分变换法举例 习题三 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 4.4.1 半空间的格林函数 4.4.2 球域的格林函数 习题四 第五章 贝塞尔函数 5.1 贝塞尔方程的引出 5.2 贝塞尔方程的求解 5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解 5.4 贝塞尔函数的递推公式 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 5.5.1 贝塞尔函数的零点 5.5.2 贝塞尔函数的正交性 5.6 贝塞尔函数应用举例 5.7 贝塞尔函数的其他类型 5.7.1 第三类贝塞尔函数 5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数 5.7.3 开尔文函数（或称汤姆孙函数） 5.8 贝塞尔函数的渐近公式 习题五 第六章 勒让德多项式 6.1 勒让德方程的引出 6.2 勒让德方程的求解 6.3 勒让德多项式 6.4 函数展成勒让德多项式的级数 6.4.1 勒让德多项式的正交性 6.4.2 函数展成勒让德多项式的级数 6.5 连带的勒让德多项式 习题六 第七章 能量积分法 7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式 7.2 初值问题解的惟一性与稳定性 7.3 初边值问题的能量不等式 习题七 第八章 变分方法 8.1 变分方法的物理背景 8.2 变分问题的可解性 8.3 吕兹一伽辽金方法 习题八 第九章 非线性偏微分方程 9.1 极小曲面问题 9.2 非线性偏微分方程举例 9.3 单个守恒律激波 9.4 KdV方程孤立子 习题九 附录A τ函数的基本知识 附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表 习题答案

序言

自本书第二版问世以来，得到了同行们的理解、关心和支持，二十年内共印刷33次，总发行量近70万册。书的优点和缺点都非常明显。优点是：文字精炼、思路清晰、重点突出、篇幅适当，在较长时间内满足了工科学生对这门课程的要求；缺点是：二十年没有修订，内容有些陈旧，个别例子及个别地方有错误或表述不准确。 这次修订的基本宗旨就是要保留原书的优点，尽可能地克服其缺点。具体地说，就是： 第一、对第二版前六章除了对少数内容作了更正和文字修改以外，基本上保持不变。 第二、删去了第二版中第七章“数学物理方程的差分解法”。这样做的出发点是：我们认为这个内容放到《数值分析》这类课程内可能更合适一些。 第三、增加了“能量积分法”、“变分方法”及“非线性偏微分方程”三章内容。这三章的写法也力求前后呼应，彼此关联。此外，在“变分方法”和“非线性偏微分方程”两章内，还引入了定解问题“弱解”的概念。 书中各章的内容基本上都是彼此独立的，因此在教学时可根据需要和学时数任意取舍，但从本门课程来讲，前六章无疑是最基础的。为便于组织教学，我们宁愿放弃了从数学物理方程的体系来安排各章顺序的做法，将新增的内容放在书的后三章。对于不要求了解“特殊函数”这部分内容的读者，完全可以跳过第五、六章，直接读后面的内容。