棣美弗定理

棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)创立。指的是设两个复数（用三角函数形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。

棣莫弗定理与瑞士数学家欧拉提出的欧拉公式之间有重要联系。

基本信息

设两个复数（用三角形式表示），则：

证：先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量来表示复数。于是，该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分向量。如果向量与实轴正方向的夹角为，那么这两个分向量分别等于（其中）。所以，复数Z可以表示为。这里θ称为复数Z的辐角。

∵

∴

其实该定理可以推广为一般形式。

设n个复数

则：

在一般形式中如果令，则能导出复数乘方公式：.

对n∈Z*，采用数学归纳法证明。

①当n=1时，等式明显成立

②设当n=k时等式成立，则当n=k+1时

即当n=k+1时等式也成立

综上，对于任意正整数n，都有