双曲正切函数

数学术语

双曲正切函数是双曲函数的一种。双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。

与正切函数类似，双曲正切函数在计算上等于双曲正弦与双曲余弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。

基本信息

双曲正切函数（tanh）的定义与三角函数十分类似，它也是双曲正弦函数（sinh）与双曲余弦函数（cosh）的商2。定义式为：。

由于，，那么双曲正切函数的定义式为：

双曲正切的定义域为。3

我们也可以推导出来：由于双曲正切函数定义式的分母是，根据高中课本里的基本不等式：

双曲正切函数

得出

可见，双曲余弦函数的分母永远为正，不可能为零，则得出了该函数的定义域。

双曲正切函数的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。3

即双曲正切函数的值域是(-1,1)。

证明：

当时，由于,则。

当时，由于，则。

双曲正切函数是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称。3

下面是证明：首先明确双曲正切函数的定义域是。