基础定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。1即随着自变量x增大，函数值y减小的函数为减函数。

单调性

单调性的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就或函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做函数y=f(x)的单调区间。1

单调性的证明

用定义法证明单调性的步骤：

（1）任取x1,x2∈D，且满足x1<x2；

（2）作差f(x1)-f(x2)；

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断f(x1)-f(x2)的正负）；

（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。1

在证明函数为减函数时，只需要证明：当x1<x2时f(x1)-f(x2)>0。在减函数的图像中，函数图像从左往右是下降的，即函数值随自变量的增大而减小。

单调性的判断方法

（1）定义法：即“取值（定义域内）→作差→变形→定号→判断”；

（2）图像法：先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性；

（3）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。1

（4）求导法：假定函数f在区间[a,b]上连续且在(a,b)上可微，若每个点x∈(a,b)有f'(x)>0，则f在[a,b]上是递增的；若每个点x∈(a,b)有f'(x)<0，则f在[a,b]上是递减的。2

注意事项