内容简介

《现代物理基础从书45:实验数据分析(上册)》可供实验物理工作者和大专院校相关专业师生、理论物理研究人员、工程技术人员以及从事自然科学和社会科学的数据测量和分析研究人员参考。

图书目录

前言 第1章概率论初步 1.1随机试验，随机事件，样本空间 1.2概率 1.3条件概率，独立性 1.4概率计算举例 1.5边沿概率，全概率公式，贝叶斯公式 第2章随机变量及其分布 2.1随机变量 2.2随机变量的分布 2.3随机变量函数的分布 2.4随机变量的数字特征 2.5随机变量的特征函数 2.6离散随机变量的概率母函数 第3章多维随机变量及其分布 3.1二维随机变量的分布，独立性 3.2条件概率分布 3.3二维随机变量的数字特征 3.4二维随机变量的函数的分布 3.5多维随机变量，向量和矩阵记号 3.6多维随机变量的联合特征函数 3.7多维随机变量的函数的分布 3.8线性变换和正交变换 3.9误差传播公式 第4章一些重要的概率分布 4.1伯努利分布和二项分布 4.2多项分布 4.3泊松分布，泊松过程 4.4泊松分布与其他分布的相互联系 4.5复合泊松分布 4.6几何分布，负二项分布，超几何分布 4.7均匀分布 4.8指数分布 4.9伽马分布 4.10贝塔分布 4.11正态分布 4.12二维正态分布 4.13多维正态分布 4.14对数正态分布 4.15柯西分布 4.16朗道分布 4.17X2分布 4.18t分布 4.19F分布 4.20实验分布 4.20.1实验分辨函数 4.20.2探测效率 4.20.3复合概率密度 第5章大数定律和中心极限定理 5.1大数定律 5.2中心极限定理 第6章子样及其分布 6.1随机子样，子样分布函数 6.2统计量及其数字特征 6.3抽样分布 6.3.1子样平均值的分布 6.3.2服从x2分布的统计量，自由度 6.3.3服从t分布和F分布的统计量 6.3.4正态总体子样偏度、子样峰度、子样相关系数的分布 6.4抽样数据的图形表示，频率分布 6.4.1一维散点图和直方图，频率分布 6.4.2二维散点图和直方图 第7章参数估计 7.1估计量，似然函数 7.2估计量的相合性 7.3估计量的无偏性 7.4估计量的有效性和最小方差 7.5估计量的充分性，信息 7.5.1充分统计量 7.5.2充分性与信息 7.6区间估计 7.6.1枢轴变量法 7.6.2大样本法 7.7正态总体均值的置信区间 7.8正态总体方差的置信区间 7.9正态总体均值和方差的联合置信域 第8章极大似然法 8.1极大似然原理 8.2正态总体参数的极大似然估计 8.3极大似然估计量的性质 8.3.1参数变换下的不变性 8.3.2相合性和无偏性 8.3.3充分性 8.3.4有效性 8.3.5唯一性 8.3.6渐近正态性 8.4极大似然估计量的方差 8.4.1方差估计的一般方法 8.4.2充分和有效估计量的方差公式 8.4.3大子样情形下的方差公式 8.5极大似然估计及其误差的图像确定 8.5.1总体包含单个未知参数 8.5.2总体包含两个未知参数 8.6利用似然函数作区间估计，似然区间 8.6.1单个参数的似然区间 8.6.2由巴特勒特函数求置信区间 8.6.3两个参数的似然域 8.6.4多个参数的似然域 8.7极大似然法应用于直方图数据 8.8极大似然法应用于多个实验结果的合并 8.8.1正态型似然函数 8.8.2非正态型似然函数 8.9极大似然法应用于实验测量数据 8.10有约束的极大似然估计 第9章最小二乘法 9.1最小二乘原理 9.2线性最小二乘估计 9.2.1正规方程 9.2.2线性最小二乘估计量的性质 9.2.3线性最小二乘估计举例 9.2.4一般多项式和正交多项式拟合 9.3非线性最小二乘估计 9.4最小二乘拟合 9.4.1测量拟合值和残差 9.4.2线性模型中σ2的估计 9.4.3正态性假设，自由度 9.4.4拟合优度 9.5最小二乘法应用于直方图数据 9.6最小二乘法应用于实验测量数据 9.7线性约束的线性最小二乘估计 9.8非线性约束的最小二乘估计 9.8.1拉格朗日乘子法 9.8.2误差估计 9.8.3一般最小二乘拟合的自由度 9.9最小二乘法求置信区间 9.9.1单个参数的误差和置信区间 9.9.2多个参数的误差和置信域 9.10协方差矩阵未知的多个实验结果的合并 第10章矩法，三种估计方法的比较 10.1简单的矩法 10.2一般的矩法 10.3举例 10.4矩法、极大似然法和最小二乘法的比较 10.4.1反质子极化实验的模拟 10.4.2不同估计方法的应用 10.4.3讨论 第11章小信号测量的区间估计 11.1经典方法 11.1.1正态总体 11.1.2泊松总体 11.2似然比顺序求和方法 11.2.1泊松总体 11.2.2正态总体 11.3改进的似然比顺序求和方法 11.4考虑系统误差时泊松总体的区间估计 参考文献 《现代物理基础丛书》已出版书目

文摘

第1 章概率论初步 1.1 随机试验，随机事件，样本空间 自然界存在着在一定条件下必然发生的现象。例如，两个点电荷之间必定有相互作用力；高处的重物必定落向地面；水在一个大气压、100±C条件下必然沸腾，等等。这些现象称为必然现象，它们的过程和后果是完全确定的，可以唯一地用一定的物理规律给以精确的描述。如点电荷之间的作用力服从库仑定律，真空中物体的下落过程服从自由落体规律。 但自然界还存在另一类性质不同的现象，即使在完全相同的条件下对同一事物做多次测量或试验，我们发现，试验的结果并不一样，一次单独的试验结果是不确定的，因此无法用任何数学公式计算出来。尽管每次试验的结果看来似乎杂乱无章，但如做大量重复试验，其结果却呈现出某种规律性。我们来举例说明。 投掷一枚均匀硬币，其结果或者是正面朝上，或者是反面朝上。我们无法预言任何一次投掷中硬币的哪一面朝上，但当投掷次数很多时，则正面朝上的次数约占1/2。 掷一个骰子，骰子的六个面分别刻有1，2，3，4，5，6等数字。每扔一次得到的点数是1/6中的哪一个数无法确定，但在大量投掷中，每一个点数的出现次数占总投掷数的1/6左右。 上述两例的共同特征是：个别试验中的结果是不确定的，但大量重复试验的结果会出现某种规律性。这类现象称为随机现象，这种规律性称为统计规律性。揭示随机现象的统计规律性的数学工具是概率论和数理统计。 扔骰子、扔硬币的试验有以下特性：试验可以在相同条件下重复进行；试验的结果不止一个，但所有结果都已明确地知道；每次试验结果究竟是其中的哪一种则无法确定。具有这些性质的试验称为随机试验，简称试验。将某种随机试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，则称n次试验是互相独立的。随机试验中可能出现的各种结果称为随机事件，简称事件。随机试验中每一种可能出现的结果是最简单、最基本的事件，称为基本事件。如扔骰子试验中，每扔一次即是一次随机试验；\出现1点、\出现2点\出现6点是6个基本事件；\出现大于4的点、\出现偶数点是事件，但不是基本事件。试验中必定发生的事件叫必然事件，不会发生的事件叫不可能事件。如\点数大于0是必然事件，\点数大于6是不可能事件。 随机试验E的所有基本事件组成的集合称为E的样本空间，记为S。S的元素是试验E的所有基本事件，元素也称样本点。例如，扔硬币和扔骰子试验的样本空间可记为S硬币：f正面，反面g，S骰子：f1，2，3，4，5，6g。引入样本空间的概念后，可以看到事件是样本空间的一个子空间或子集。如\点数大于4是子集f5，6g，\偶数点是子集f2，4，6g。必然事件就是样本空间S的全域；不可能事件是空集，用?表示。 现在我们来规定事件之间的关系及运算。设随机试验E的样本空间为S，事件A，B，Ak（k=1，2，￠￠￠）为E的事件，我们用下述符号表示它们之间不同的关系。 A?B（或B?A）称为事件B包含事件A，表示事件A的发生必然导致事件B的发生。这可用图1.1加以说明，图中长方形表示样本空间S，圆A和圆B表示事件A和B的子集，子集A含于子集B内。 A=B称为事件A与事件B相等，表示事件A包含事件B且事件B包含A，即B?A且A?B。 A[B称为事件A与事件B之和，表示事件A或事件B至少有一个发生。 图1.3A\B 图1.2中斜线部分表示A[B。 类似地，A1[A2[￠￠￠[An[￠￠￠′1[k=1 Ak称为A1，A2，￠￠￠之和，表示这些事件中至少有一个发生。 A\B或AB称为事件A与事件B之积，表示事件A和事件B同时发生。图1.3中斜线部分表示AB。 类似地，A1\A2\￠￠￠\An\￠￠￠′1\k=1Ak为事件A1，A2，￠￠￠之积，表示这些事件同时发生。 A?B称为事件A与事件B之差，表示事件A发生而事件B不发生。 A?B如图1.4中斜线部分所示。 AB=?称为事件A与事件B互不相容，表示事件A与事件B不可能同时发生。图1.5是互不相容的两个事件A和B的图示。基本事件之间是互不相容的。 A=1B或B=A1称事件A与事件B互逆，或A，B互为对立事件，表示事件A和B中必有且仅有一个发生，也即A[B=S，AB=?。图1.6中斜线部分为事件B的对立事件A=1B。由此规定可知，互逆事件一定互不相容。 样本空间的划分是十分有用的一个概念。设S为随机试验E的样本空间，E的一组事件B1，B2，￠￠￠，Bn两两互不相容，且B1，B2，￠￠￠，Bn之和等于样本空间的全域，即满足8<:BiBj=?；i6=j；i；j=1；2；￠￠￠；n;B1[B2[￠￠￠[Bn=S;（1.1.1） 则称B1，B2，￠￠￠，Bn为样本空间S的一个划分。图1.7是样本空间S的一个划分的图示。显然样本空间的所有元素构成它的一个划分；对立事件也是样本空间的一个划分。 以扔骰子为例，骰子面朝上的点数作为随机试验，其样本空间是S=f1；2；3；4；5；6g。设一组事件B1=f1；2g;B2=f3；4g;B3=f5；g，则B1;B2;B3构成S的一个划分。事件组C1=f1；2g;C2=f2；3g;C3=f4；5g不是S的划分，它不满足式（1.1.1）的要求。 图1.7 样本空间的划分 1.2 概率 所谓随机事件的概率，指的是随机试验中该随机事件发生的可能性大小的数值表示。历史上出现过几种不同的概率模型。 （1）统计（频率）概型 重复进行一种随机试验，共作了N次，其中事件A出现n次（称为事件A的频数），比值n/N称为事件A在N次试验中出现的频率。随着试验次数N的增加，频率n/N的值将逐渐稳定于某个常数。事件A的概率定义为试验次数N趋向无穷大的极限情形下的频率： P（A）=limN!1nN:（1.2.1） 这样定义的概率称为统计概率或频率概率。由以上定义可见，事件的概率是随机试验中该事件发生的可能性大小的数量表述。 概率的上述定义相当直观，但数学上不够严格，而且无穷多次试验事实上无法实行。 （2）古典概型 假设一种随机试验的样本空间包含有限个元素，每个基本事件出现的可能性相等。即随机试验的样本空间为S=fe1；e2；￠￠￠；eng；每个基本事件的概率相等，则有 1=P（S）=nXi=1P（ei）=nP（ei）; 即 P（ei）=1n；i=1；2；￠￠￠；n:（1.2.2） 若事件A包含k个基本事件，则事件A的概率为 P（A）=k=n:（1.2.3） 这样的概率模型称为等可能概型或古典概型，前面提到的掷硬币和扔骰子试验都属于古典概型。 （3）几何概型 古典概型要求随机试验的样本空间只包含有限个可能性相等的元素（或称样本点），若随机试验的样本空间包含无限个可能性相等的样本点，则不能按古典概型计算，而需要用几何概型求解。设随机试验E的样本空间S可用m（m=1；2；￠￠￠）维空间中的一有界区域-表示，其样本点具有均匀分布性质（类似于古典概率中基本事件的等可能性），事件A（A?S）发生的可能性用区域!A表示，则事件A发生的概率为 P（A）=!A-；（1.2.4） 称为几何概率。它可以应用于无限可列个元素、甚至无限不可列个元素的情形（含义见下文）。 概率的上述模型，每种定义都是针对不同的随机试验而设计的，都很浅显直观，但都存在一定的局限性，数学上也不够严密。1933年前苏联科学家柯尔莫哥洛夫综合了前人的成果，提出了概率的公理化定义，从此，概率论才成为一个严密的数学分支。 概率的公理化定义可简述如下 设S为一随机试验E的样本空间，对于E的任一事件A，满足如下条件的一个非负实函数P（A）称为事件A的概率： （1）06P（A）61，对一切A?S。（1.2.5） （2）P（S）=1:（1.2.6） （3）对两两不相容的事件Ak（k=1；2；￠￠￠）有 P（A1[A2[￠￠￠[An）=nXk=1P（Ak）（1.2.7） 或 P（A1[A2[￠￠￠[An[￠￠￠）=1Xk=1P（Ak）:（1.2.8） 式（1.2.7）和式（1.2.8）分别称为概率的有限可加性和可列可加性，它们分别适用于样本空间含有有限个元素和无限可列个元素的情形。所谓无限可列个，指满足两个条件：有无限个元素，但可以与自然数列1，2，3，￠￠￠建立起一一对应的关系。式（1.2.6）也称为样本空间概率的归一性，它表示随机试验整个样本空间的概率和恒等于1。式（1.2.5）?式（1.2.8）表明了概率的定义可以简单地归结为：非负性、归一性和可加性。 概率的公理化定义在数学上是严密的，但只规定了概率应满足的条件，而没有给出计算事件A的概率P（A）的方法，因而对同一个样本空间，只要符合这三个公理化条件，概率可以有多种不同的定义。例如，前面讨论过的统计概率、古典概率和几何概率定义不同，但都符合概率的公理化定义的要求；在第13章贝叶斯统计中使用的贝叶斯概率，其定义与这三者皆不同，但同样满足公理化定义的要求。 在第5章中，大数定律将证明，在相当广泛的情形中，当试验次数N趋向无穷时，事件A的频率n/N与其概率P（A）的严格定义值十分接近。在实际使用时，只要试验次数N充分大，可用频率n/N作为概率P（A）的近似值。 根据概率的定义，立即可推导出概率的如下性质： （1）若A，A1为一随机试验的互逆事件，则有 P（A）+P（A1）=1:（1.2.9） （2）不可能事件的概率为0，即 P（?）=0:（1.2.10） （3）若事件A包含事件B，则 P（A）>P（B）:（1.2.11） （4）若A1；￠￠￠;An为一随机试验样本空间S的一个划分，则由式（1.2.6）和式 （1.2.7）立即得到 nXi=1 P（Ai）=1；（1.2.12） 样本空间的所有基本事件的概率和等于1。式（1.2.9）可视为本式的特例。 （5）若A?B，则 P（A?B）=P（A）?P（B）:（1.2.13） （6）P（A[B）=P（A）+P（B）?P（AB）:（1.2.14） 由图1.2和图1.3可知，A[B=A+B?AB，故得上式。该公式也称为概率的加法定理。推广到n个事件的一般情况，设A1;A2；￠￠￠;An是随机试验E的n个事件，则有 P（A1[A2[A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）?P（A1A2）?P（A2A3）?P（A1A3）+P（A1A2A3）:（1.2.15）