布尔值 包括true和false两个值。
在逻辑中，真值或逻辑值是指示一个陈述在什么程度上是真的。在计算机编程上多称作布尔值。
在经典逻辑中，唯一可能的真值是真和假。但在其他逻辑中其他真值也是可能的: 模糊逻辑和其他形式的多值逻辑使用比简单的真和假更多的真值。
在代数上说，集合 {真,假} 形成了简单的布尔代数。可以把其他布尔代数用作多值逻辑中的真值集合，但直觉逻辑把布尔代数推广为 Heyting代数。
在 topos理论中，topos 的子对象分类器接管了真值集合的位置。
中文：布尔值
英语：boolean
法语：boolien
定义固定一个完全布尔代数 B 和一阶语言 L，后者由一组常量符号、函数符号和关系符号构成。L 的布尔值模型因此就由全集 M，它是元素(或名字)的集合，和对这些符号的释义组成。特别是，这个模型必须为 L 的每个常量符号指派一个 M 的元素，并为 L 的每个 n-元函数符号 f 和 n-元组 n-1> 中的每一个指派 M 的元素，这个模型必须为项 f(a0,...,an-1) 指派 M 的元素。
其他公式和句子的释义
其他公式可以使用布尔代数来释义；对于命题连结词这是很容易的；你可以简单的在子公式的真值上应用对应的 布尔运算符。例如，如果 φ( x) 和 ψ( y, z) 分别是带有一个和两个 自由变量的公式，并且是要代换 x、 y 和 z 为模型的全集的元素 a、 b 和 c，则
的真值简单的是
对于量化的公式，我们需要利用布尔代数 B 的完全性。如果 φ( x) 是带有自由变量 x(可能还有其他我们忽略的自由变量)，则
这里右手端要被理解为在 B 中所有真值 ||φ( a)|| 的 上确界，这里 a 的范围在 M 之上。
一个公式的真值有时被称为它的 可能性。它不能理解为一般意义上概率，它们不是 实数而是完全布尔代数的 B 的元素。
集合论的布尔值模型
给定一个完全布尔代数 B，有一个指示为 V 的布尔值模型，它是 冯·诺伊曼全集 V 的布尔取值的类似者。(严格的说， V 是真类，所以我们需要适当的重新解释对于 模型意味着什么)。非形式的说，我们认为 V 是象“布尔值集合”的某种东西；换句话说，布尔值集合，不再有定义分明的元素和非元素，而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是 B 的一个元素，不是实数。这不同于 模糊集合的概念。
布尔值集合的(“可能的”)元素，依次也是布尔值集合，它的元素也是布尔值集合，以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义，我们需要有层次的建造它们。所以对于 V 的每个序数 α 我们定义集合 Vα 为:
Vα 是 β<α 的 Vβ 的并集，如果 α 是极限序数(包括 0)。 Vα+1 是从 Vα 到 B 的所有函数的集合。(这种函数表示 Vα 的“可能的” 子集；如果 f 是这种函数，则对于任何 x∈ Vα， f( x) 是 x 在这个集合中的可能性)。 我们定义类 V 是所有集合 Vα 的并集。
有可能相对化这个完整构造于 ZF (或者有时它的片段)的某个传递模型 M。在这种情况下我们通过应用上述构造于 M 内部而构造布尔值模型 M。对传递模型的限制是不严重的，因为Mostowski塌陷引理蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型 同构于传递模型。(如果模型 M 不是传递事物而使其变得更加杂乱，因为 M 对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。
接着我们需要在集合 V 上定义两个 B-值的等于关系和成员关系。(在 V 上的 B-值关系是从 V× V 到 B 的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系，对于在 V 中的 x 和 y，它们指示为 || x= y|| 和 || x∈ y||。它们定义如下:
|| x∈ y|| 被定义为 ∑ t∈Dom( y) || x= t|| ∧ y( t) (" x 在 y 中如果它等于在 y 中的某个东西") || x= y|| 被定义为 || x⊆ y||∧||y⊆ x|| (" x 等于 y 如果 x 和 y 相互都是对方的子集")，这里的 || x⊆ y|| 被定义为 ∏ t∈Dom( x) x( t)⇒|| t∈ y|| (" x 是 y 的子集如果所有 x 的元素都在 y 中") 符号 ∑ 和 ∏ 意味着我们在完全布尔代数 B 中采用 最小上界和 最大下界。第一眼看来上述定义好象是循环的: || ∈ || 倚赖于 || = ||，它依赖于 || ⊆ ||，它依赖于 || ∈ ||。但是闭合检查证实了 || ∈ || 的定义只对于更小阶的元素依赖于 || ∈ ||，所以 || ∈ || 和 || = || 是从 V× V 到 B 的良好定义的函数。
最后我们需要检查在 V 上的这两个 B-值的关系 || ∈ || 和 || = || 使 V 成为 集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在 B 中有一个值，我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有 B 的元素“真”的值。这是直接了当的，但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。
引用
Bell, J. L. (1985)
Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5 Jech, Thomas（2002）．Set theory,
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