基本介绍

超限基数(transfinite cardinal number)亦称无限基数，是一类常见的基数，指与有限基数相对的一类基数，可数基数、不可数基数统称超限基数，超限基数又称为阿列夫()。将所有超限基数从小到大排列出来 ，得到正则超限基数序列：，是一个无限上升的良序链，这里是可数基数，也是最小的超限基数。当时，都是不可数基数2。

超限基数的性质

有下列性质：

1. 对任何基数，都存在比它更大的基数，即

2. 若，则是一个基数。

3. 超限基数等幂定理：对任何序数，

4.对任何序数与，

5.对任何序数与， 当时，。

6.对任何序数，。

基数

基数(cardinal numbers)是集合论基本概念之一。是通常个数概念的推广。按康托尔原意，集合a的基数是一切与a一一对应的集合的共同特征，它既舍弃了a中元素的具体属性，也不考虑a的元素间的次序关系，所以集a的基数是抽象的结果，用a上加两划(或)来表示。弗雷格把a的基数定义为所有与a一一对应的集所成之集，即。在ZFC系统中能证明当时，并不构成一个集，而是一个真类。1928年数学家冯·诺伊曼建议选取一个特殊的与a一一对应的集作为a的基数，即把定义为所有与a一一对应的序数中最小的一个。根据集合的良序化定理，与a一一对应的序数是一定存在的，由于序数类的良序性，所有与a一一对应的序数中必有最小的一个，因此任何集合均有基数，并且两个集合具有相同基数的充要条件就是它们能够一一对应，这符合康托尔的原意。因为集合有有限、无限之分，相应地，基数亦有有限、超限之分，有限基数就是自然数；超限基数记作，表示第个超限基数，其中读作阿列夫，是一个序数。按照的隶属情况，超限基数亦可分为三类：第一类只含一个基数，它是可数集的基数；当为后继序数或极限序数时，分别称为后继基数与极限基数，它们分别构成第二类与第三类超限基数1。

参考资料