阿波罗尼奥斯问题

阿波罗尼奥斯问题是由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的几何作图问题，载于他的《论接触》中，可惜原书已经失传。后来公元4 世纪学者帕波斯的著作中记载了其中所提出的一个作图问题：设有3个图形，可以是点、直线或圆，求作一圆通过所给的点（如果3个图形中包含点的话）并与所给直线或圆相切。当中共有10 种可能情形，其中最著名的是：求作一圆与3个已知圆相切，常称为阿波罗尼奥斯问题（ Apollonius'problem）。据说阿波罗尼奥斯本人解决了问题，可惜结果并没有流传下来。

1600年法国数学家韦达在一篇论著中应用了两个圆相似中心的欧几里得解法，通过对每一种特殊情况的讨论，严格陈述了该问题的解。后来牛顿、蒙日、高斯等许多数学家都对这一问题进行过研究，得到多种解决方法。 其中以法国数学家热尔岗约于1813年给出的解法较有代表性。以上所说都是通常的标尺作图法。如果放宽作图条件限制，则有多种简捷的解法。

证明方法

解析几何证明方法

已知：定点M（c,0），N（-c,0），P（x，y）

求证：平面内到两个定点M，N的距离之比为常数k（k≠1）的点P的轨迹是圆

证明：d1=√[（x-c）²+y²] d2=√[（x+c）²+y²]

d1/d2=√[（x-c）²+y²]/√[（x+c）²+y²]=k

通分后化简得(k²-1)x²+(k²-1)y²+2c(k²+1)x+(k²-1)c²=0

约分 x²+y²+2c(k²+1)/(k²-1)x+c²=0

此形式为圆的一般方程。

证明毕

平面几何证明方法

证明

证明见图。