互为对偶的正多面体

一个正多面体和以它的各面中心为顶的正多面体，叫做互为对偶的正多面体。

由欧拉定理推出：凸正多面体只有五种，即：正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体（正方体）、正十二面体，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各面都是正三角形，正六面体的各面是正方形，正十二面体的各面是正五边形。

正六面体和正八面体是互为对偶的正多面体；正十二面体和正二十面体是互为对偶的正多面体；正四面体的对偶多面体是正四面体。

正四面体群

不动旋转:

（A)(B)(C)(D)

以顶点与对面的中心连线为轴：

·A 为顶点(AO1):±120o (A)(BCD) and (A)(BDC)

·B为顶点:±120o (B) (ACD) and (B)(ADC)

·C为顶点:±120o (C) (ABD) and (C)(ADB)

·D为顶点:±120o (D) (ABC) and (D)(ACB)

共有8个三项循环。

以正四面体A-BCD的3对对边之中点联线为旋转轴：作角度为π的3个旋转，分别对应于置换(AB)(CD)，(AC)(BD)，(AD)(BC),

这样的12个运动构成群,称为正四面体群。

e, (BCD),(BDC),(ACD),(ADC)，(ABD)，(ADB)，(ABC)，(ACB) ,(AB)(CD)，(AC)(BD)，(AD)(BC),