历史背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

伽玛函数

伽玛函数

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

基础定义

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成。

（1）在实数域上伽玛函数定义为：

伽玛函数

（2）在复数域上伽玛函数定义为：

伽玛函数

其中，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

复平面上的Gamma 函数

（3）除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法：

伽玛函数

我们都知道是一个常用积分结果，公式（3）可以用来验证。

（4）伽马函数还可以定义为无穷乘积：

伽玛函数

不完全gamma函数