人物简介

早期经历

亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue)

1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎．数学．

勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．

步入数学领域

1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E． 波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《 函数论讲义》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续 实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在 南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“ 积分、长度、面积”(Intégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在 巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的 微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得 法兰西学院教授称号，翌年作为C． 若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士．

主要贡献

完善积分理论

勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题．19世纪以来， 微积分开始进入严密化的阶段．1854年B． 黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K． 魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G． 康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使 黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于 无穷集合性质的探讨，而 无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对 区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广． 勒贝格积分正是建立在 勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．

理论的最初创立

为勒贝格 积分理论的创立作出重要贡献的首先应推 若尔当，他在《分析教程》(Cours d’analyse，1893)一书中阐述了后人称谓的若尔当 测度论，并讨论了定义在有界若尔当 可测集上的 函数，采用把 定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分．虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷(例如存在着不可测的 开集， 有理数集不可测等)，而且积分理论也并没有作出实质性的推广，但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野．在这一方向上迈出第二步的杰出人物是 波莱尔，1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“ 波莱尔集”的理论．他从R1中开集是构成区间的长度总和出发，允许对可列个开集作并与补的运算，构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类，并在其上定义了测度．这一成果的要点是使测度具备完全可加性(若尔当测度只具备有限可加性)，即对一列互不相交的波莱尔集，若其 并集是有界的，则其并集的测度等于每个En的测度的和．此外，他还指出，集合的测度和可测性是两个不同的概念．但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集(这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一)．特别是其中存在着 零测度的 稠密集，引起了一些 数学家的不快．然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它．他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制，以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念，给予了集合测度的分析定义：

实证

设E [a，b]，考虑可数多个区间对E作覆盖．定义数值

m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，

则称E为可测集(即E是勒贝格可测的)．在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：对于一个定义在[a，b]上的有界实值函数f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：

m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．

令

Ei={x∈[a，b]:yi-1≤f(x)≤yi}，(i=1，2，…n)