定义

设x，y是空间X中的两点，如果存在X的连通子集，则称点是连通的1。

①设X为拓扑空间，，若C满足

(1)C是拓扑空间X的连通子集；

(2)C不是拓扑空间X的任意连通子集的真子集。则称C为拓扑空间X的一个连通分支(或极大连通子集)。

②设X是多于一点的拓扑空间，若拓扑空间X的每个单点集都是X的连通分支，则称X为完全不连通空间2。

定理

定理1

设X为拓扑空间，则

(1)若A是拓扑空间X的连通子集，则存在X的连通分支C，使得；

(2)拓扑空间X的任意两个不同的连通分支不相交；

(3)拓扑空间X是若干个连通分支的并。

证明(1)对于拓扑空间X的连通子集A，记

显然，，从而根据定理可知是X的连通子集，并且．若有X的连通子集M使得，则，于是，因此，所以C是X的极大连通子集，即它是X的连通分支。

(2)设，是X的两个不同的连通分支，若，则是X的连通子集，从而，所以根据连通分支，的极大性可知=。

(3)因为对于任意，是X的连通子集，从而存在连通分支使得。所以.

此定理表明，拓扑空间X的所有连通分支之族是X的一个分类。换言之，X的每个连通分支都是非空集；X的不同连通分支不相交；X的所有连通分支之并为X2。

定理2